[法學] 社福函數（Social Welfare Functions）

法理學辭典 025：社福函數（Social Welfare Functions）
導論
當代經濟理論和法律與經濟學領域中，其中一個重要觀念是社福函數（social welfare function）。沒有經濟學背景的法律學生，或許受用數學符號表示的社福函數所阻，但無需因此害怕。其基本觀念很容易掌握，幾分鐘就可以了解數學符號。本文為法理學一年級法學生簡單介紹社福函數觀念。
背景
規範經濟學
社福函數為規範經濟學一部分，雖然有些合理可行的公式，但幾乎所有規範經濟學都以效用作為概念起點或衡量善良工具。經濟學家可能對效用本質、效用與社福關係、以及公共政策中的福利角色有不同意見，但是大多數（若非全部）經濟學家都同意，在其他條件相同情形下，效用越高越好此論點。但是這種共識非常抽象和模糊，對於「效用」就有許多不同觀點。
有關總體（Cardinal）效用與次序（Ordinal）效用的解釋
總體效用與次序效用為效用的重要區別。個體的次序效用函數，即由與該個體有關可能事務進行排序而組成。次序函數表示個體（i）對（X）偏好大於（Y），但無法說明（X）比（Y）好很多還是只好一點點。
總體效用函數賦予毎一種可能發生事務以一個實數值（real-number value）。假設效用函數值以效用單位（units of utility）或效用值（utiles）表示，則（P）的個體效用函數為80效用值，而（Q）為120個效用值，這時個體（i）對P和Q的效用函數（U），可以下列表示：
Ui(P) = 80
Ui(Q) = 120
總體效用與次序效用的區別在功利主義的解釋上有其潛在的重要性。就作為評價理論而言，功利主義認為在所有行為中，只有且唯有使效用最大化的行為才是最好的行為。從技術角度觀之，功利主義需要總體性與人際間具有完全的可比較性。功利主義這方面和規範經濟理論中的福利經濟學發展史密切相關。
測量問題
經濟學家對總體性與人際間的可比較性都存在著測量問題。即使是單一個體中，也很難測量出可靠的總體效用值，而人際間比較的測量更難合理化，總體人際比較似乎需要分析家（進行比較之人）在不同爭議值間做判斷。因為種種原因，包括財富效應在內，市場價格無法作為效用的替代品。福利經濟學的挑戰，是發展出一套可做確實評估的方法論，但是不需要用到總體的人際比較效用值。
伯瑞圖（Pareto）
這是為什麼需要伯瑞圖（Pareto）的原因。假設我們擁有的全部有關個體效用值的全部訊息都是可以排序但不能做人際間比較，換言之，每個人都能將排出事務的順序，但我們（分析家）不能比較不同人的排序。弱伯瑞圖原則指出，在所有人的排序中，如果P（可能情形或事務）排序比Q高，則社會上對P的偏好較Q高。但是這種所有人全體一致偏好的情形極為少見，所以弱伯瑞圖對我們的幫助不大。強伯瑞圖原則指出，如果至少有一個人P排序較Q高，且沒有人的Q排需高於P，則社會上對P的偏好較Q高。與弱伯瑞圖不同者，強伯瑞圖允許一些相對粗糙的結論。
新福利經濟學
所謂新福利經濟學，其以滿足強伯瑞圖補償負面外部性的市場交易為基礎。若P和Q的唯一差異為伯瑞圖效率（Pareto efficient），即於P中的個體（i1）和個體（i2）都能接受其交易結果（花錢買器具，以雞換鞋）。當伯瑞圖效率沒有更多變動（或交易）時，稱之為伯瑞圖最適點（Pareto optimal）。其中有關外部性的假設非常重要，如果有任何負面外部性未受補償情形，則該交易即不為伯瑞圖效率。
弱伯瑞圖與亞羅（Arrow）不可能性定理（Impossibility Theorem）
弱伯瑞圖加上次序效用的資訊，可按毎個人偏好排出各種可能情形的順序。社福函數即是將個人效用資訊轉換為社會排序的方法。亞羅（Kenneth Arrow）知名的不可能定理（impossibility theorem）指出，如果在各種合理假設中未將弱伯瑞圖包括在內，則無法建構出個人排序轉換為社會排序的社福函數。一種發展趨勢是放寬亞羅的假設，例如，放寬亞羅的社會排序移轉的假設（若X較Y為先，且Y較Z為先，則X必須較Z為先）。另一種發展趨勢，則是考慮到非個體的、無從比較的次序效用訊息等可能性。正是後者這種發展，與當代法律學與經濟學所運用的社福函數密切有關。
社福函數
假設我們同意人際間具有完全的可比較性和總體效用資訊，就已充分支持了伯格森-山姆爾森效用函數（Bergson-Samuelson utility functions）：
W(x) = F (U1(x), U2(x), . . . UN(x))
其中：
W(x)表示在X（可能情形或事務）的社會效用實數值。
F為實數值之遞增函數。
U1(x)為個體（1）在X（可能情形或事務）的總體人際可比較效用值。
N為個體總數。
伯格森-山姆爾森社福函數是以山姆爾森（Paul Samuelson）和伯格森（Avram Bergson）之名命名的。
什麼是合理可行的社福函數？
還有許多不同函數可以取代F，這裡列舉其中最重要者：
古典功利主義社福函數：我們可以個體效用值直接加總的總合替代F，此稱之為邊沁數或古典功利主義社福函數。此函數與邊沁（Jeremy Bentham）有密切關係。古典效用社福函數可以下列數學式表示：
W(x)={U1(x) + U2(x) + U(3(x) . . . Un(x)}
平均值功利主義社福函數：即古典社福函數再加上效用值。當不同的可能情形或事務（x或y）有著不同的人數時，就引起一些有趣的問題。當考慮是否決定加入額外的個體時，古典功利主義社福函數認為加入個體越多越好，直到開始出現總體效用減低為止。避免出現這種結果的一種方法，即以效用的平均值取代總合。以下列數學式表示：
W(x)=[U1(x) + U2(x) + U(3(x) . . . Un(x)]/n}
換言之，效用值的總合除個體數。
伯努利-納許社福函數（Bernoulli-Nash SWF）：另外還可用生產函數 (¡Ç)和個體效用相乘取代之。其稱為伯努利-納許社福函數，可以下列數學式表示：
W(x)={U1(x) * U2(x) * U(3(x) . . . Un(x)}
個體效用並不加總，而是相乘。伯努利-納許中的納許正是《美麗心靈》（A Beautiful Mind）諾貝爾獎得主約翰納許（John Nash）。此社福函數具有平等的意涵，當效用相乘而非相加或平均時，其函數較容易在不平等人之間進行平等的分配。
人際間比較有何問題？
近年在法理論領域裡經常討論社福函數。當代有關社福函數發生爭論的原因之一，即卡普羅（Louis Kaplow）和沙維爾（Steven Shavell）（二人皆為哈佛法學院）在其著作《福利與公平間的對抗》（Welfare versus Fairness）中大力提倡福利途徑作為規範經濟學的「前端與核心」。
社福函數關注的理論問題之一為人際間的比較。我們如何賦予U1(x)、 U2(x)等等一定的數值？亦即，如何在同一衡量標準下比較不同人之間的效用？就我所知，經濟學家對此也沒有一定的共識。有的經濟學家認為，不存在客觀方法比較人際間的總體效用值。但也有的經濟學家認為，可由第三方（法律分析家或經濟學家）進行賦予個體效用值的工作。
結論
這裡就法理論中運用社福函數引起許多有趣的理論問題做簡單說明，有的問題在之前法理學辭典「平衡測試」（Balancing Tests）中已經探討過。即使沒有經濟學背景，也沒理由避開社福函數的爭論。雖然這些內容一開始很嚇人，但實際上非常簡單。其基本觀念雖是用經濟理論術語陳述，但其實質內容則為道德理論基礎問題。希望本文可提供讀者討論這些觀念的工具。